數學線性系統理論-全54集

線性系統理論之觀察

統控制的理論和實踐被認為是20世紀對人類生產活動和社會發生重大影響的科學領域之一。在系統和控制科學領域內，線性系統是基本的研究對象，並在過去幾十年中取得了眾多結果和重要進展，已經形成和發展為相當完整和相當成熟的線性系統理論。線性系統理論的重要性首先在於它的基礎性，其大量的概念、方法、原理和結論，對於系統與控制理論的許多學科分支，諸如最優控制、非線性控制、魯棒控制、隨機控制、智能控制、系統辨識和參數估計、過程控制、數字濾波和通信系統等，都具有重要和基本的作用，成為學習和研究這些學科必不可少的基礎知識。

線性系統理論著重於研究線性系統狀態的運動規律和改變這種運動規律的可能性和方法，以建立和揭示系統結構、參數和性能間的確立和定量的關係。通常，研究系統運動規律的問題稱為分析問題，研究改變運動規律的可能性和方法的問題則為綜合問題。從哲學的角度而言，前者屬於認識系統的範疇，後者屬於改造系統的範圍。

線性系統的理論和方法是建立在其模型基礎之上的。不管是對系統進行分析還是綜合，一個首要的前提是建立器系統數學模型。建立模型時，最重要的是確定什麼是需要反映和研究的主要系統屬性，並在此基礎上來定出他們的定量關係。隨著所觀察問題的性質的不同，一個系統可以有不同的模型，它們代表了系統不同側面的屬性。系統數學模型的基本要素是變量、參量、常量和它們之間的關係。變量包括狀態變量、輸入變量和輸出變量，有些情況下還需考慮擾動變量。參量可以是系統的參數或表徵系統性能的參數，前者受系統環境的影響課產生變動，後者可隨設計要求而人為地改變其取值。常量是指系統中不隨時間改變的參數。線性系統的數學模型有兩種主要形式，即時間域模型和頻率域模型。時間域模型變現為微分方程組或差分方程組，可同時適用於線性時不變和線性時變系統。頻率域模型表現為傳遞函數和頻率響應，只適用於線性時不變系統。對應於系統的這兩項模型，已經發展和形成線性系統理論中的兩類不同方法。

線性系統綜合理論

線性系統理論的主要內容包括：與系統結構有關的各種問題，例如系統的結構分解問題和解耦問題等。系統結構的規範分解（見能觀測性）是其中的著名結果。關於控制系統中反饋作用的各種問題，包括輸出反饋和狀態反饋對控制系統性能的影響和反饋控制系統的綜合設計等問題。極點配置是這方面的主要研究課題。狀態觀測器問題，研究用來重構系統狀態的狀態觀測器的原理和設計問題。實現問題，研究如何構造具有給定的外部特性的線性系統的問題，主要研究課題是最小實現問題。幾何理論，即用幾何觀點研究線性系統的全局性問題(見線性系統幾何理論)。代數理論，用抽像代數方法研究線性系統，把線性系統理論抽像化和符號化。其中最有名的是模論方法（見線性系統代數理論）。多變量頻域方法，是在狀態空間法基礎上發展起來的頻域方法，可以用來處理多變量線性系統的許多分析和綜合問題，也稱現代頻域方法。時變線性系統理論，研究時變線性系統的分析、綜合和各種特性。數值方法和近似方法的研究佔有重要地位（見時變系統）。

數學模型

在線性系統理論中，輸入變量、狀態變量和輸出變量三者之間的數學關係被看作是線性的。系統數學模型具有標準形式。對於連續情況，線性系統由下列方程組描述：

第一個方程稱為狀態方程，用以描述狀態向量x＝(x1，x2,„,xn)T 與輸入向量u＝(u1,„,ur)T間的動態關係；第二個方程稱為輸出方程或量測方程,描述輸出向量y＝(y1，y2„,ym)T與狀態向量和輸入向量之間的線性組合關係。這裡T表示矩陣轉置。A，B，C和D都是常係數矩陣。x的維數（即系統的狀態變量的個數）n稱為系統的維數。這個模型可用下面的框圖表示。

線性系統理論

對於離散情況，線性系統的模型具有差分方程形式：

x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)

y(k)＝Cx(k)＋Du(k) (k＝0,1,2,„)

為簡便起見,常可把線性系統簡記為(A，B，C，D)。其中Du或Du(k)表示從輸入端直接傳送到輸出端的前饋作用,它與系統狀態的動態行為無關。在理論研究中常可假設D＝0，這時系統可記為(A，B，C)。線性系統理論的發展過程線性系統控制理論與一切其他技術科學學科一樣，也是在社會發展需求的推動下，從解決相應時代的重大實際生產和工程問題的需求中產生和發展起來的。一般認為，奈奎斯特在20世紀30年代初對反饋放大器穩定性的研究，是系統控制作為一門學科發展的開端。線性系統理論的發展過程經歷了「經典線性系統理論」和「現代線性系統理論」兩個階段。

20世紀50年代以後，隨著航天等技術的發展和控制理論應用範圍的擴大，經典線性控制理論的局限性日趨明顯,它既不能滿足實際需要,也不能解決理論本身提出的一些新問題。這種狀況推動線性系統的研究，在1960年以後從經典階段發展到現代階段。美國學者R.E.卡爾曼首先把狀態空間法應用於對多變量線性系統的研究，提出了能控性和能觀測性這兩個基本概念，並提出相應的判別準則。1963年他又和E.G.吉爾伯特一起得出揭示線性系統結構分解的重要結果，為現代線性系統理論的形成和發展作了開創性的工作。1965年以後，現代線性系統理論又有新發展。出現了線性系統幾何理論、線性系統代數理論和多變量頻域方法等研究多變量系統的新理論和新方法。隨著計算機技術的發展，以線性系統為對象的計算方法和計算機輔助設計問題也受到普遍重視。

主要特點與經典線性控制理論相比，現代線性系統理論的主要特點是：

１研究對像一般是多變量線性系統，而經典理論主要以單輸入單輸出系統為研究對象。因此，現代線性系統理論具有大得多的適用範圍。

２除輸入變量和輸出變量外，還著重考慮描述系統內部狀態的狀態變量，而經典理論只考慮系統的外部性能（輸入與輸出的關係）。因此，現代線性系統理論所考慮的問題更為全面和更為深刻。

３在分析和綜合方法方面以時域方法為主，兼而採用頻域方法。而經典理論主要採用頻域方法。因此，現代線性系統理論能充分利用這兩種方法。而時域方法對動態描述要更為直觀。

４使用更多的數學工具，除經典理論中使用的拉普拉斯變換外，現代線性系統理論大量使用線性代數、矩陣理論和微分方程理論，對某些問題還使用泛函分析、群論、環論、範疇論和復變函數論等較高深的數學工具。因此，現代線性系統理論能探討更一般更複雜的問題。

主要學派:

幾何理論：把對線性系統的研究轉化為狀態空間中的相應幾何問題,並採用幾何語言來對系統進行描述,分析和綜合。

代數理論：把系統各組變量間的關係看作為是某些代數結構之間的映射關係,從而可以實現對線性系統描述和分析的完全的形式化和抽像化，使之轉化為純粹的一些抽像代數問題多變量頻域方法：

一是頻域方法。

二是多項式矩陣方法。

與其他學科的關係

很多實際系統（工程系統、生物系統、經濟系統、社會系統等）都可用線性系統模型近似地描述，而線性系統理論和方法又比較成熟，因此它的應用範圍十分廣泛。在航空、航天、化工、機械、電機等技術領域中，線性系統理論都有應用實例。在科學領域中，線性系統理論的研究不但為控制理論的其他分支提供了理論基礎，而且對數學研究也提出了一些有實際意義的新問題。